Среди нестационарных случайных процессов при математическом описании динамики сложных объектов, функционирующих в нестабильной среде, встречаются такие процессы, у которых математическое ожидание может быть представлено полиномом k-той степени и k-тая производная этого процесса представляет собой стационарный нормальный случайный процесс. Такие процессы, называемые случайными процессами со стационарными приращениями (СПСП), определяются как случайный процесс x(t) со стационарными k-тыми приращениями СПСП-k (случайный процесс, k-тая производная которого является стационарным случайным процессом). Так, например, в соответствии с определением для СПСП-2 можно записать

а для СПСП-k

где – биномиальный коэффициент.

С точки зрения анализа и моделирования таких процессов необходимо идентифицировать наблюдаемый процесс по первым реализациям динамического ряда и определить корреляционную функцию k-той производной процесса. С этой целью представляется целесообразным ввести в рассмотрение некоторые выборочные распределения статистик малых выборок из гауссовских генеральных совокупностей.

Теорема 1. Пусть , тогда для выборки плотность распределения выборочного коэффициента вариации имеет вид

Доказательство. Если каждая из независимых величин нормальна , то величины независимы и нормальны (0,1). Таким образом, плотность вероятности статистики S равна

Среднее арифметическое нормально . Поэтому можно определить следующим образом

Теорема 2. Пусть и , тогда статистика

Теорема 3. Пусть тогда статистика

где

Доказательства теоремы 2 и теоремы 3 аналогичны доказательству теоремы 1 и базируется на идее рандомизации одного из параметров отношения двух случайных величин [1, 2].

1. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложение. Т2. М., “Мир”, 1967.
2. Мартыщенко Л.А.. Математические задачи теории малых выборок и их приложения к испытаниям сложных технических систем. Воениздат, 1975.